Biofísica

1.1 Velocidade da Luz

Quando observamos e medimos fenómenos da nossa realidade, tentamos atribuir números às quantidades físicas com a maior precisão possível. Por exemplo, queremos determinar a velocidade da luz, que pode ser calculada dividindo a distância percorrida por um raio de luz pelo tempo que este demora a percorrer:

velocidade da luz = distância / tempo

Em 1983 a General Conference on Weights and Measures definiu a velocidade da luz como sendo:

c = 299 792 458 metros/segundo

Este número foi escolhido para corresponder à medição da velocidade da luz feita com maior precisão, dentro da incerteza experimental.

1.2 Sistema Internacional (SI)

As três quantidades - tempo, distância e velocidade da luz - estão diretamente interligadas. Que quantidades devemos considerar como "bases" e quais são as quantidades "derivadas"?

A resposta a esta questão é dada por convenção. O sistema básico de unidades usado em ciência e tecnologia nos dias de hoje é o Système International (SI). Consiste em sete quantidades base e as suas unidades correspondentes:

1.3 O Relógio Atómico e a Definição de Segundo

Na obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Isaac Newton distinguiu o tempo para uma determinada duração e o tempo absoluto:

"Absolute true and mathematical time, of itself and from its own nature, flows equably without relation to anything external..."

O desenvolvimento de relógios baseados em oscilações atómicas permitiu medidas de tempo com precisão na ordem de 1 parte em 10¹⁴, correspondendo a erros de menos de um microssegundo por ano.

Em 1967, o Comité Internacional de Pesos e Medidas redefiniu o segundo:

1.4 O Metro

O metro foi originalmente definido como 1/10 000 000 do arco que tem origem no Equador, segue ao longo do meridiano até ao Polo Norte, passando por Paris.

Em 1983, a 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) redefiniu o metro:

📌 Exemplo: O Ano-Luz

Problema: O ano-luz é a distância que a luz percorre num ano. Quantos metros percorre a luz num ano?

Solução: Usando a relação distância = (velocidade da luz) × (tempo), precisamos primeiro converter um ano para segundos:

1 ano = 365,25 dias × 24 horas × 60 minutos × 60 segundos = 31 557 600 s

Portanto, a distância percorrida num ano é:

1 ano-luz = 299 792 458 m/s × 31 557 600 s = 9,461 × 10¹⁵ m

💡 A estrela mais próxima, Alpha Centauri, está a aproximadamente 3 anos-luz de distância.

1.5 A Massa

A unidade de massa, o quilograma (kg), foi durante muito tempo a única unidade base no SI definida em termos de um artefacto físico: o "Protótipo Internacional do Quilograma Padrão".

O protótipo foi feito em 1879 por George Matthey sob a forma de um cilindro de 39 mm de altura e 39 mm de diâmetro, composto por uma liga de 90% de platina e 10% de irídio. É mantido no Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) em Sèvres, França.

📌 Exemplo: O Protótipo Internacional do Quilograma

Problema: Determine a forma e dimensões ideais do protótipo do quilograma de platina-irídio, de modo a ter a menor área de superfície para um dado volume.

Dados:

• Densidade da liga: ρ = 21,56 g/cm³
• Volume necessário: V ≈ 1000g / 22g/cm³ = 46,38 cm³

Solução: Para minimizar a corrosão, a forma deve ter a menor área de superfície possível. Uma esfera seria ideal, mas cilindros são mais práticos (não rolam).

Para um cilindro com menor área de superfície, verifica-se que o raio deve ser metade da altura: r = h/2

Para o quilograma padrão, o raio calculado é aproximadamente r ≈ 1,95 cm e a altura h ≈ 3,9 cm.

Definição Alternativa de Massa

Devido aos problemas associados a um protótipo físico (pode ser danificado, ganha átomos do ambiente a uma taxa de ~1 μg/ano), várias aproximações alternativas estão a ser exploradas, incluindo definir o kg como um número fixo de átomos, relacionando-o com a massa atómica.

1.6 Dimensões de Quantidades Comuns

Muitas quantidades físicas são derivadas de quantidades base a partir de relações algébricas. A dimensão da quantidade derivada é escrita como uma potência da dimensão da quantidade base.

Exemplos:

• Velocidade: dim. = D·T^-1 (onde D = distância, T = tempo)
• Força: dim. = M·D·T^-2 (onde M = massa)
• Energia Cinética: dim. = M·D²·T^-2
• Trabalho: dim. = M·D²·T^-2

Note que trabalho e energia cinética têm as mesmas dimensões.

1.7 Análise Dimensional

Existem muitos fenómenos na natureza que podem ser explicados através de simples relações entre os fenómenos observados.

📌 Exemplo: Período de um Pêndulo

Problema: Consideremos um pêndulo simples constituído por uma massa suspensa de um ponto fixo por um fio. Seja T_período o tempo que o pêndulo demora a completar um ciclo completo. Que quantidades definem o período?

Análise: As quantidades relevantes são:

Solução:

1. A massa não pode entrar na relação, porque não há outra quantidade com dimensão de massa para a cancelar.
2. Para obter uma quantidade com dimensão de tempo, consideramos l/g:

   dim[l/g] = L / (L·T^-2) = T²

3. Portanto, a raiz quadrada de l/g tem dimensão de tempo.

💡 Esta é uma demonstração do poder da análise dimensional: conseguimos deduzir a forma da fórmula sem resolver equações diferenciais!

2.1 Introdução à Cinemática

A cinemática é a descrição matemática do movimento. O termo é derivado da palavra grega kinema, que significa movimento.

Para quantificar o movimento, um sistema de coordenadas matemáticas, chamado de sistema de referência, é usado para descrever espaço e tempo. Uma vez escolhido um sistema de referência, podemos introduzir os conceitos físicos de posição, velocidade e aceleração de forma matematicamente precisa.

2.2 Posição, Intervalo de Tempo e Deslocamento

Posição

Considere um objeto movendo-se em uma dimensão. Denotamos a coordenada de posição do centro de massa do objeto em relação à escolha de origem por x(t). A coordenada de posição é uma função do tempo e pode ser positiva, zero ou negativa, dependendo da localização do objeto.

A posição tem direção e magnitude, e, portanto, é um vetor:

x(t) = x(t) î

Denotamos a posição na origem em t = 0 por x₀ = x(t = 0).

💡 A unidade SI para a posição é o metro [m]

Intervalo de Tempo

Consideremos um intervalo de tempo fechado [t₁, t₂]. Caracterizamos este intervalo de tempo pela diferença dos limites desse intervalo:

Δt = t₂ − t₁

💡 A unidade SI para intervalos de tempo é o segundo [s]

Deslocamento

Uma mudança da massa no sistema de coordenadas entre os tempos t₁ e t₂ é dada por:

Δx = (x(t₂) − x(t₁)) î = Δx(t) î

O deslocamento é uma quantidade vetorial: o vetor resultante da diferença entre as posições.

2.3 Velocidade

Ao descrever o movimento de objetos, palavras como "rapidez" e "velocidade" são usadas em linguagem comum. No entanto, ao introduzir uma descrição matemática do movimento, precisamos definir estes termos com precisão.

O nosso procedimento será definir quantidades médias para intervalos de tempo finitos e depois examinar o que acontece no limite, quando o intervalo de tempo se torna infinitamente pequeno.

Velocidade Média

A componente da velocidade média, v_x, para um intervalo de tempo Δt é definida como o deslocamento Δx dividido pelo intervalo de tempo Δt:

v_x = Δx / Δt

💡 A unidade SI para a velocidade é o metro por segundo [m·s⁻¹]

Velocidade Instantânea

Considere um corpo movendo-se numa direção, com coordenada de posição x(t) e posição inicial x₀ no tempo t = 0. Para o intervalo [t, t + Δt], a velocidade média é:

v_x = Δx/Δt = [x(t + Δt) − x(t)] / Δt

À medida que reduzimos o tamanho do intervalo de tempo, a inclinação da linha que liga os pontos aproxima-se da inclinação da linha tangente à curva x(t) no tempo t.

2.4 Aceleração

A aceleração é a quantidade que mede uma mudança de velocidade num determinado intervalo de tempo. Aplicamos o mesmo procedimento físico e matemático usado para definir a velocidade.

Aceleração Média

Suponhamos que durante um intervalo de tempo Δt um corpo sofre uma mudança de velocidade:

Δv = v(t + Δt) − v(t)

A aceleração média é então:

a_x = Δv_x / Δt

💡 A unidade SI para a aceleração é o metro por segundo ao quadrado [m·s⁻²]

Aceleração Instantânea

Num gráfico da componente x da velocidade vs. tempo, a aceleração média para um intervalo Δt é a inclinação da linha reta conectando os dois pontos (t, v_x(t)) e (t + Δt, v_x(t + Δt)).

Como a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, a componente x da aceleração é a segunda derivada da função de posição:

a_x = dv_x/dt = d²x/dt²

2.5 Resumo das Relações Cinemáticas

2.6 Movimento Uniformemente Variado (MUV)

O caso mais comum e importante na prática é quando a aceleração instantânea a_x é constante no tempo. Neste cenário, podemos integrar a aceleração para obter as expressões para a velocidade e a posição do objeto.

Equações do MUV

Para uma aceleração constante a_x = a, e considerando x₀ e v₀ como posição e velocidade iniciais (t = 0):

📌 Exemplo: Queda Livre

Problema: Um objeto é largado do repouso de uma altura de 45 m. Determine: (a) o tempo de queda e (b) a velocidade ao atingir o solo.

Dados:

• Posição inicial: x₀ = 45 m (considerando o solo como origem)
• Velocidade inicial: v₀ = 0 (largado do repouso)
• Aceleração: a = −g = −9,8 m·s⁻² (sentido negativo = para baixo)
• Posição final: x = 0 (solo)

Solução:

(a) Usando x(t) = x₀ + v₀·t + ½·a·t²:

0 = 45 + 0 + ½·(−9,8)·t²

t² = 45/4,9 ≈ 9,18

t ≈ 3,03 s

(b) Usando v_x(t) = v₀ + a·t:

v_x = 0 + (−9,8)·(3,03)

v_x ≈ −29,7 m·s⁻¹

💡 O sinal negativo indica que a velocidade é no sentido negativo (para baixo).

2.7 Casos Especiais de Movimento

2.8 Análise Gráfica do Movimento

A interpretação gráfica é fundamental para compreender o movimento. Existem relações importantes entre os gráficos de posição, velocidade e aceleração:

3.1 Introdução à Descrição Vetorial do Movimento em Duas Dimensões

Até agora, introduzimos os conceitos de cinemática para descrever o movimento numa dimensão; no entanto, vivemos num universo multidimensional. Para explorar e descrever o movimento neste universo, começamos por examinar exemplos de movimento bidimensional, dos quais existem muitos: a órbita de planetas em torno de uma estrela em órbitas elípticas ou um projétil movendo-se sob a ação da gravidade uniforme são dois exemplos comuns.

Agora iremos estender as nossas definições de posição, velocidade e aceleração para um objeto que se move em duas dimensões (num plano), tratando cada direção independentemente, o que podemos fazer com quantidades vetoriais, decompondo cada uma destas quantidades em componentes.

3.2 Vetores Posição, Velocidade e Aceleração

Vetor Posição

Em coordenadas cartesianas, em que as direções dos vetores unitários não mudam de lugar para lugar, o vetor posição r(t), em relação a uma escolha de origem para o objeto no instante t, é dado por:

r(t) = x(t) î + y(t) ĵ

Vetor Velocidade

O vetor velocidade v(t) no instante t é a derivada do vetor posição:

v(t) = (dx/dt) î + (dy/dt) ĵ = v_x(t) î + v_y(t) ĵ

onde v_x(t) ≡ dx(t)/dt e v_y(t) ≡ dy(t)/dt correspondem às componentes da velocidade em x e y, respectivamente.

Vetor Aceleração

O vetor aceleração a(t) é definido de maneira semelhante como a derivada do vetor velocidade:

a(t) = (dv_x/dt) î + (dv_y/dt) ĵ = a_x(t) î + a_y(t) ĵ

onde a_x(t) ≡ dv_x(t)/dt e a_y(t) ≡ dv_y(t)/dt correspondem às componentes da aceleração em x e y, respectivamente.

3.3 Movimento de Projétil

Considere o movimento de um corpo que é libertado no instante t = 0 com uma velocidade inicial v₀ a uma altura h acima do solo.

Sistema de Coordenadas

Escolhemos coordenadas com:

• Eixo y na direção vertical, com ĵ apontando para cima
• Eixo x na direção horizontal, com î apontando na direção do movimento horizontal
• Origem no ponto onde o objeto é libertado

Condições Iniciais

A decomposição vetorial do vetor de velocidade inicial é:

v₀ = v_x,0 î + v_y,0 ĵ

Quando um corpo é lançado com uma velocidade inicial v₀ a um ângulo θ₀ em relação à horizontal, as componentes da velocidade inicial são:

O vetor de posição inicial tem os componentes:

r₀ = x₀ î + y₀ ĵ

3.4 Análise das Forças e Segunda Lei de Newton

Diagrama de Forças

A única força que atua sobre o objeto é a força gravitacional, entre o objeto e a Terra. Esta força atua para baixo com magnitude m·g, onde m é a massa do objeto e g = 9,8 m/s².

F_grav = −m·g ĵ

Aplicação da Segunda Lei de Newton

A Segunda Lei de Newton afirma que:

F^total = m·a

Esta é uma equação vetorial; os componentes são igualados separadamente:

💡 A aceleração é constante e independente da massa do objeto. Note-se que a_y < 0 porque escolhemos a direção y positiva para apontar para cima.

3.5 Equações do Movimento de Projétil

As equações finais do movimento são obtidas integrando as equações de aceleração constante.

3.6 Trajetórias Simétricas

Quando temos um lançamento de projéteis, e a trajetória do projétil é simétrica (o projétil parte e chega à mesma altura), podemos usar equações simplificadas para calcular os parâmetros de forma direta:

📌 Exemplo: Lançamento de Projétil

Problema: Uma bola é lançada com velocidade inicial de 20 m/s a um ângulo de 30° com a horizontal. Determine: (a) o tempo de voo, (b) a altura máxima e (c) o alcance.

Dados:

• v₀ = 20 m/s
• α = 30°
• g = 9,8 m·s⁻²
• sin(30°) = 0,5 ; cos(30°) ≈ 0,866 ; sin(60°) ≈ 0,866

Solução:

(a) Tempo total:

t_total = 2 × 20 × 0,5 / 9,8 = 20/9,8

t_total ≈ 2,04 s

(b) Altura máxima:

h_max = (20 × 0,5)² / (2 × 9,8) = 100/19,6

h_max ≈ 5,1 m

(c) Alcance:

d_max = 20² × 0,866 / 9,8 = 346,4/9,8

d_max ≈ 35,3 m

3.7 Aplicações em Biofísica e Biomecânica

Embora o modelo de projétil (que ignora a resistência do ar) seja idealizado, os conceitos vetoriais da Cinemática Bidimensional são cruciais para a análise de movimentos reais.

3.8 Resumo das Equações

4.1 Definição da Lei de Hooke

Todos os materiais sólidos exibem um comportamento característico quando sujeitos a forças de compressão ou tracção. Quando a relação entre a força aplicada e a deformação do material é linear, diz-se que o material obedece à Lei de Hooke.

Modelo da Mola Elástica

Podemos usar a analogia de uma mola elástica para compreender o comportamento dos materiais:

• Estado relaxado (posição x₀): O material está no seu estado normal
• Sob tensão: O comprimento aumenta quando sujeito a tracção
• Sob compressão: O comprimento diminui

A Lei de Hooke para uma mola exprime-se matematicamente por:

F = -k·x

onde F é a força aplicada (N), k é a constante elástica (N/m) e x é o deslocamento (m).

4.2 Stress (Tensão) e Deformação

Num sólido, a força distribui-se pela superfície. A relação entre força e área designa-se por stress ou tensão:

σ = F / A

onde σ (sigma) é o stress (Pa ou N/m²), F é a força aplicada (N) e A é a área da secção transversal (m²).

Deformação Relativa (Strain)

A deformação relativa do material é dada por:

ε = (L - L₀) / L₀ = ΔL / L₀

onde ε (épsilon) é a deformação relativa (adimensional), L₀ é o comprimento original (m), L é o comprimento sob força (m) e ΔL é a variação do comprimento (m).

4.3 Módulo de Young

Para materiais que obedecem à Lei de Hooke, a relação entre stress e deformação é linear:

F/A = Y · (L - L₀)/L₀

σ = Y · ε

onde Y é o módulo de Young (Pa), uma propriedade característica de cada material que indica a sua rigidez.

Valores Típicos do Módulo de Young

4.4 Comportamento Elástico vs. Plástico

A relação linear é válida apenas até um determinado limite. O gráfico stress-deformação identifica diferentes regiões:

4.5 Resiliência

Até ao limite elástico, a deformação é reversível, mas a relação entre stress e deformação não é a mesma quando o material volta ao formato original. Esta propriedade chama-se resiliência.

Aplicações Biológicas da Resiliência

• Tendões e ligamentos: Dissipam energia durante o movimento, protegendo as articulações
• Vasos sanguíneos: A elasticidade das artérias absorve a pressão do batimento cardíaco
• Discos intervertebrais: Amortecem impactos na coluna vertebral

4.6 Exemplo: Tracção de um Fio de Aço

4.7 Aplicações Biológicas

Muitos tecidos biológicos exibem comportamento elástico dentro de certos limites:

• Ossos: Suportam cargas compressivas e resistem à flexão
• Tendões: Transmitem forças dos músculos aos ossos
• Ligamentos: Conectam ossos e estabilizam articulações
• Cartilagem: Absorve choques e permite movimento suave
• Pele: Permite movimento e retorna à forma original

Limitações em Sistemas Biológicos

Factores que Afectam a Elasticidade

• Idade: Tendões e ligamentos tornam-se menos elásticos com a idade
• Temperatura: A elasticidade varia com a temperatura
• Hidratação: O conteúdo de água afecta as propriedades elásticas
• Composição: A proporção de colagénio e elastina influencia a elasticidade

4.1 Introdução – Fluidos

A água está em toda a parte, cobrindo 71% da superfície da Terra. O conteúdo de água de um ser humano pode variar entre 45% e 70% do peso corporal. A água pode existir em três estados da matéria: sólido (gelo), líquido ou gasoso.

Na linguagem comum, o termo fluido é usado para descrever o estado líquido da matéria, mas em rigor, um fluido é qualquer estado da matéria que flui quando há uma tensão de cisalhamento aplicada. A água, tanto no estado líquido quanto gasoso, é classificada como fluido para distingui-la do estado sólido.

4.2 Densidade

A densidade de uma pequena quantidade de matéria é definida pela quantidade de massa ΔM dividida pelo volume ΔV desse elemento de matéria:

ρ = ΔM / ΔV

A unidade SI para a densidade é o quilograma por metro cúbico [kg/m³]. Se a densidade de um material é igual em todos os seus pontos, então a densidade é simplesmente:

ρ = M / V

Um material com densidade constante é chamado de material homogéneo. Para um material homogéneo, a densidade é uma propriedade intrínseca. Se dividirmos o material em duas partes, a densidade será a mesma para ambas:

ρ = ρ₁ = ρ₂

Contudo, a massa e o volume são propriedades extrínsecas do material:

M = M₁ + M₂      V = V₁ + V₂

4.3 Pressão num Fluido

Quando uma força de cisalhamento é aplicada à superfície de um fluido, este flui. Quando um fluido está estático, a força em qualquer superfície dentro do fluido deve ser perpendicular (normal) a cada lado da superfície. Esta força deve-se às colisões entre as moléculas do fluido de um lado da superfície com as moléculas do outro lado.

Considere uma pequena parte de um fluido estático. A porção do fluido é dividida em duas partes (regiões 1 e 2) por um pequeno elemento de superfície S de área A_S. A força na superfície da região 2, devido às colisões entre as moléculas das duas regiões, é perpendicular à superfície:

F_1,2(S) = −F_2,1(S)

A magnitude das forças que formam esta interacção é:

F_⊥(S) = |F_1,2(S)| = |F_2,1(S)|

A unidade SI para a pressão é [N/m²] e é chamada de pascal (Pa).

4.4 Pressão Atmosférica

A pressão atmosférica num ponto é a força por unidade de área exercida numa pequena superfície contendo aquele ponto, pelo peso do ar acima dessa superfície. Quanto mais alto estivermos, menos massa atmosférica haverá acima de nós, pelo que a pressão atmosférica diminui com o aumento da elevação.

Em média, uma coluna de ar de um centímetro quadrado de secção transversal, medida do nível do mar ao topo da atmosfera, tem uma massa de cerca de 1,03 kg, exercendo uma força de aproximadamente 10,1 N.

A altura de uma coluna de mercúrio equivalente a 1 atm é de 760 mm. Se fosse feito com água, a coluna teria 10 m.

Pressão atmosférica em função da altitude

A pressão atmosférica média P varia em função da altitude h:

P = 1,01325 × 10⁵ × (1 − 2,26 × 10⁻⁵ × h)^5,255

4.5 Lei de Pascal

Consideremos um fluido estático com densidade uniforme ρ. Escolhemos um sistema de coordenadas tal que o eixo do z tem sentido positivo de cima para baixo, com z = 0 na superfície do fluido. Um elemento de volume cilíndrico infinitesimal a uma profundidade z, com área de secção A e espessura dz, tem:

Volume: dV = A·dz      Massa: dM = ρ·A·dz

A força gravítica que atua no cilindro é F_g = ρ·A·dz·g, no sentido positivo de z. Aplicando a segunda Lei de Newton (soma de forças = 0 para fluido estático), na direcção +z:

F(z) − F(z + dz) + ρ·A·dz·g = 0

Dividindo por A:

P(z) − P(z + dz) + ρ·dz·g = 0

Reformulando e fazendo o limite dz → 0, obtemos a equação diferencial:

dP/dz = ρ·g

Integrando entre a superfície (z = 0) e uma profundidade z:

É importante referir que a pressão exercida por um líquido incompressível só depende da altura (ou profundidade) h, da densidade do líquido ρ, e da aceleração da gravidade g. A pressão não depende da área do recipiente!

Pressão total num líquido incompressível

Considerando também a pressão atmosférica, a pressão total é:

P_tot = ρ × g × h + P_atm

Tubo em forma de U

Considerando um tubo em forma de U com dois líquidos imiscíveis (como água e azeite), segundo a Lei de Pascal, as pressões calculadas nos dois ramos são iguais:

ρ₁ × g × h₁ + P_atm = ρ₂ × g × h₂ + P_atm

Após simplificação:

ρ₁ × h₁ = ρ₂ × h₂

Aplicação: Prensa Hidráulica

Para um sistema hidráulico com dois pistões de áreas A₁ e A₂, desprezando a diferença de alturas:

P = F₁/A₁ = F₂/A₂  ⇒  F₂ = (A₂/A₁) × F₁

O volume de óleo deslocado num lado é igual ao deslocado no outro, portanto:

A₁ × h₁ = A₂ × h₂  ⇒  h₂ = (A₁/A₂) × h₁